HIMPUNAN
PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas.
Contoh :
a) "Kumpulan makanan enak".
Kalimat ini bukan merupakan suatu himpunan, karena makanan enak seseorang belum tentu enak menurut orang lain. Dengan kata lain, objek yang terdapat pada kalimat tersebut tidak terdefinisi dengan baik.
b) "Kumpulan bilangan cacah yang kurang dari5".
Kalimat ini merupakan himpunan karena anggotanya dapat disebutkan yaitu 0, 1, 2, 3 dan 4.
LAMBANG HIMPUNAN
Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, X, Z dan sebagainya. Anggota himpunan ditulis di antara tanda {} (kurung kurawal), dan antara anggota yang satu dengan lainnya dipisahkan dengan tanda koma (,).
Contoh :
A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.
Kalimat diatas tersebut dapat kita tulis, A = {1, 2, 3, 4, 5}
CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN
Ada 3 (tiga) cara yang dapat dilakukan untuk menyatakan suatu himpunan yaitu sebagai berikut:
1) Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata
Contoh ;
A = {Bilangan prima dari 1 sampai 20}
B = {Bilangan ganjil dari 5 sampai 25)}
C = {Bilangan cacah yang kurang dari sepuluh}
2) Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan
Ketentuan penulisan notasi pembentuk himpunan adalah sebagai berikut:
{x|.......}
Keterangan:
x = variabel atau peubah yang menyatakan anggota suatu himpunan
| = dibaca "di mana"
.... = penyataan kalimat matematika yang menjadi syarat keanggotaan.
Contoh :
A = {x|x = lima huruf pertama dalam abjad latin}
3) Menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar
Pada metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.
Contoh :
H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}A = {0, 1, 2, 3}
L = {a, b, c, d, e}
HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A adalah himpunan bagian dari B, jika dan hanya jika setiap anggota dari A merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B, dibaca "A himpunan bagian B".
Perhatikan himpunan-himpunan berikut:
A = {himpunan hewan}
B = {himpunan hewan berkaki empat}
C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}
Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:
A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}
Jika diperhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B.
Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B.
Menentukan Banyak Himpunan Bagian yang Mungkin (Rumus)
Banyaknya suatu himpunan, dengan mudah dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus.
Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅
A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅
A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c} dan ∅
A = {a, b, c, d}, banyaknya himpunan bagian ada 16 yaitu {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d} {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, c, d} dan ∅
Dari 4 (empat) himpunan di atas dapat kita lihat bahwa
n(A) = 2 = 2^1
n(A = 4 = 2^2
n(A) = 8 = 2^3
n(A = 16 = 2^4
Dengan demikian kita dapat membuat suatu kesimpulan yaitu sebagai berikut
Jika banyak anggota dari suatu himpunan ada "n" maka dari himpunan tersebut dapat dibuat himpunan bagian sebanyak 2n.
Contoh:
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}
Jawab:
n(A) = 3
jadi, N = 2³ = 8
Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:
A= {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅
HIMPUNAN KOSONG
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan lambang "{}" atau "∅".
Contoh :
1) B = {bilangan cacah antara 2 dan 3}
Jawab:
Himpunan ini tidak memiliki angota, sehingga himpunan ini disebut kosong.
Ditulis, B = {} atau B = ∅
2) Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L
Jawab :
H =∅ atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.
HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan.
Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh
Jika A = {1, 3, 5, 7} maka dari himpunan A dapat ditentukan himpunan semesta yang mungkin yaitu.
a) S_1 = {bilangan ganjil} karena himpunan bilangan ganjil memuat semua anggota A.
b) S_2 = {bilangan asli} karena himpunan bilangan asli juga memuat semua anggota A.
c) S_3 = {1,3,5,7,9,11} karena himpunan ini memuat semua anggota A.
DIAGRAM VENN
Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:
1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang atau bersegi, sedangkan anggota-anggotanya digambarkan dengan noktah.
2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.
3. Jika suatu himpunan anggotanya terlalu banyak atau tak berhingga maka noktahnya tidak perlu di gambarkan.
IRISAN
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus menjadi anggota B.
Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Contoh :
A = {bilangan asli yang kurang dari sama dengan 5}
B = {bilangan asli antara 3 dan 7}
Tentukan A∩B
Jawab :
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,6}
Maka A∩B = {4,5}, karena 4 dan 5 adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.
GABUNGAN
Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “∪”.
Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B.
Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Contoh :
Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 8} dan Q = {bilangan prima antara 2 dan 13}
Tentukan P ∪ Q !
Jawab:
P = {1,2,3,4,5,6,7}
Q= {3,5,7,11}
Sehingga, P ∪ Q = {1,2,3,4,5,6,7,11}
KOMPLEMENT
Bila suatu himpunan A, semestanya S, maka komplemen dari A (ditulis Ac) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan A.
Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan sebagai berikut.
Ac = {x | x ∈ S atau x ∉ A}
Misalkan:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4,}
Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}.
Himpunan ini tidak hanya dipelajari di sekolah, namun sering digunakan dalam praktik kehidupan sehari-hari. Berikut ini adalah contoh kasusnya.
Misalkan suatu kelas terdiri dari 42 orang. 20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia. Berapa orang yang gemar keduanya?
Jawab :
Diketahui:
Banyak siswa di kelas 42 orang
20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia
Ditanya: Banyaknya siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia?
Penyelesaian :
Pertama-tama, kita misalkan banyaknya siswa yang gemar matematika dan IPA adalah x.
Sehingga,
Banyaknya siswa yang gemar matematika adalah 20 - x
Banyaknya siswa yang gemar Bahasa Indonesia adalah 25 - x
Selanjutnya, kita mencari nilai x-nya.
42 = (20 - x) + (25 - x) + x
42 = 20 - x + 25 - x + x
42 = 45 - x
x = 3
Dengan demikian, kita peroleh bahwa siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia adalah 3 orang.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar